「染める」とはどのようなことを指すのでしょうか。
まずは言葉の使い方の違いから。
同じ色をつける作業でも、染めと塗りは分けて考えることが多いようです。
どう違うかは英語にすると明快。
染め=Dye
塗り=Paint
両方とも着色であることは変わらないけれど、一方は染み込む、もう一方は乗せる(ペンキを塗るような)感じ。

なので、たとえばろうけつ染め(Batik)を別の英語で言い換えると、Wax Resist Dying (蝋防染)となります。
そして、”染め”の定義の一つとして、
「繊維に色素が吸着、結合すること」
とあるようです。
だから、洗ったら落ちるようでは”染め”ではないということになりますね。
食べこぼしで服に着いた色が、洗濯して落ちるようであればシミ、洗濯しても落ちずに色が残れば染め、と言えるんでしょうね。
合ってんのかな…